“我确实没有看见过他。我是从他的脚印里看出来的。你看这个人的脚印：左脚印要比右脚印大且深，这不是说明，走过这里的人是个跛子吗？现在再比一比他和我的脚印，你会发现，他的脚印比我的深，这不是表明他比我胖？你看，骆驼只吃它身体右边的草，这就说明，骆驼只有一只眼，它只看到路的一边。你看，这些蚂蚁都聚在一起，难道你没有看清它们都在吸吮枣汁吗？”
“你怎么确定他在三个小时前离开这里的呢？”
贝都印人解释说：“你看棕榈树的影子。在这样的大热天，你总不会认为一个人不要凉快而坐在太阳光下吧！所以，可以肯定，你的同伴曾经是在树荫下休息过。可以推算出，阴影从他躺下的地方移到现在我们站的地方，需要三个小时左右。”
听罢之后，阿拉伯人急忙朝叙利亚方向去找，果然找到了他的同伴。事实证明，贝都印人说的一切都是正确的。
读完这则故事，想必你会钦佩这位贝都印人的敏锐的观察力。
一个观察力强的人能从一般人认为是司空见惯的事件中发现奇迹。一个观察力弱的人即使进入宝山，也可能空手而返。苹果落地，火炉上的水壶盖被水蒸气掀开，这些都是人们十分熟悉的现象，但牛顿和瓦特却由此分别发现和发明了万有引力定律和蒸气机。当然，这些伟大的发现和发明并不是这么简单，但是观察力强的确是他们成功的重要因素。
88.奇趣数列
有这样一个组合数列Ｘ和Ｙ，Ｘ数列在上，Ｙ数列在下，两个数列的第一列均为１，从第２列起，数列Ｘ的每一项都等于其左侧一项Ｘ和Ｙ两个数的和，数列Ｙ的每一项都等于与Ｙ相同项的Ｘ及其左侧项的另一个Ｘ值之和，见下图，如第4列的Y等于第4列X的数值12加左侧的X数值5，其和为17，以此类推，朋友们可以根据这个规律自己计算下去，为了便于观察研究，最好计算到第２０项为止。
这个组合数列的趣味在于，其构成非常简单，由最初的两个1组成，之后的每个数表面上是按照上面的规则相加所得，但实际上如果离开最初的两个1，后面的数据都为零，所以所有的数据都是在1的基础上相加而得，从左到右，只用一个加号就可以计算出后面所有的数据，有计算器的朋友更为方便，每次计算的结果，都可作为下一个数的一个加数，再根据规则加上数列中的另一个加数就可以了。也许有朋友说，这有什么趣味啊，确实，如果不观察自然发现不了什么规律，但它的奥妙也就在此，貌似平常的组合数列却蕴藏着很多很多的规律，而且越观察越觉得奇妙，甚至有不可思议的感觉。
项数１２３４５６……
数列Ｘ125122970……
数列Ｙ137174199……
89.变形虫的奇遇
有一种很微小微小的单细胞生物名叫阿米巴（ameba），由于它的身体会不断的变化，生物学家给它取名为“变形虫”，这小虫在脏水生长，有时会钻进人的肚子里去，使到人们腹泻，严重时还能令人死亡。
有一次，有一个生物学家把一滴脏水放到显微镜底下观察，他看到这滴水的世界真是神奇万千：有含叶绿素的藻，有长着鞭毛迅速游泳的一些鞭毛虫，他还看到两只变形虫。
这生物学家童心大起，拿了一个很小很小的线圈放到玻璃片上把这变形虫围起来。于是从显微镜下，他看到其中一只变形虫左冲右撞，想要从圈子过去，另外一只变形虫却是像在练瑜珈术的老僧在坐定一动也不动。
这生物学家的显微镜是有安装最新式的“细菌语言播音机”，因此他能听到这两只变形虫的对话。
“我的老天爷，这是什么墙把我关起来，我要出去，我不愿意在一个狭小的天地里。”那只急躁不安的小变形虫在叫喊。
“碰！碰！碰！”小变形虫把身体往墙上撞（事实这墙在大人的眼中只不过是一个小线圈），它的身体撞痛了，因而扭曲得很厉害。
小变形虫用身体去撞那个如老僧坐定的变形虫，对它喊叫：“喂！我们被关起来了，为什么你还不想出去？你究竟是什么变形虫？难道不知道‘不自由、毋宁死’的道理吗？”
那只不动的变形虫伸伸懒腰，开口说话：“为什么吵吵闹闹，把我从我的数学思考中吵醒？我是阿米巴数学家，我在研究微妙的数学真理，你不该来吵我——当我在研究世界上最艰深最美妙的学问时。”
小变形虫说：“我们已经失去自由了，你还在研究那什么都看不见的数学，你快想个妥善的方法，使我们能脱离困境。”
阿米巴数学家说：“你别急躁！我对你讲一个故事。”它一面慢慢地把它的身体一部份拉长变成手指，然后在沉积一些薄薄的污泥的玻璃面上划了一条线。
“你看：这一条线是可以互相向左右两端无限延长，这上面生活了两个小点，它们只能在这线上自由跑动，向左移动或者向右移动，我现在把它们活动的空间切断。你看！这是用划两条线把这线截下来，让我们听听这两个小点的对话吧！”
只见一个小圆点正在焦急不安地不断撞那墙。（事实上，在变形虫的眼中，那只不过是一截小线段。）它把头撞得肿痛，于是倒转回来，撞那个好像“天塌下来，什么事也和我无关”的小圆点。
“你怎么撞我呢？”懒得动一动的小圆点责怪那位不安心的小圆点。“我正在研究数学，你把我从那美妙的世界带回现实世界，破坏了我的玄想，实在岂有此理！”
“唉呀呀！我们被关闭起来了！现在我把你唤醒，希望我们可以想一个方法跑出牢笼，你怎么能随便怪我呢？”
小圆点数学家被那个紧张兮兮的小圆点推到墙面前，要他研究出去的方法，小圆点数学家沉思片刻回答：“有什么难呢？我们是生活在一维空间里（1dimension），实际上还有一个叫二维空间的世界，只要你跑进二维空间的世界，你的自由度（degreeoffreedom）就增加，你可以绕过障碍回到我们原来的世界。”
小变形虫呱呱喊叫说：“这有什么了不起的大道理！非常明显。小圆点真笨，还要小圆点数学家解释才明白。”
变形虫数学家严肃地说：“不要讥笑比你差的人！嘲笑人家的人，总有被人嘲笑的时候。我们是二维空间的生物，还有一个三维世界。我们的世界，只有东南西北的方向，在那个世界有一种叫‘上、下’的区分，就像小圆点的世界只有‘左、右’的方向，而没有我们的‘东南西北’，因此你只要进入三维世界，把身体向上伸，你就可以越过障碍，回到你的世界去。”
90.发现数学定理的秘诀
数学家是怎样发现数学定理呢？他们是否有一个秘诀？如果能知道那是多好啊！
是的，这里有一个秘诀，下面的一个真实故事就会告诉你秘诀是在哪里？
在中国湖南省的一个农村生产队，在1964年以前禾苗年年受到虫害，粮食老是不够，亩产最多是五百多斤。
那里的虫害最厉害的是一种叫蚁螟的虫，它们能使稻枯心，农民最初看到禾苗出现白线子才喷药。可是农药喷了，虫却没治好。有一个农民看到这种情形，他决定要想法子根治这种虫害，可是有人却认为他文化低，不可能做出这样的事来？但是他不理会这些意见。当第一代的螟蛾生出后，他就守在田边观看，看蛾子如何产卵，发现卵块的地方就插标记，记下产卵日期，看它什么时候孵化。不管刮风下雨，日夜不离田边，终于揭开了秘密。掌握到了这种虫的生长规律，于是就有法子消灭它。以后也控制了其它虫害，粮食亩产到目前增至一千二百多斤。
许多人承认在科学上的发现和发明：如物理上的落体定律，化学上的合成胰岛素，链霉素，在生物上的发现遗传规律，在医学上用针灸医治聋哑病症者，都是需要依靠实验和观察。我说数学上的发现也是靠观察得来的，读者不是会觉得奇怪吗？
数学是研究一些数、形、集合、关系和运算的性质和变化的规律，人们是怎样知道这些性质和规律呢？
是不是像一些宣传宗教的小册子讲，连那大名鼎鼎的17世纪的英国科学家牛顿，也是因为他很虔诚，为上帝所宠爱，让一个苹果在他头上掉下，启发他发现物理上的《万有引力定律》？人的活动是上帝在操纵吗？
让我们看一看18世纪的一个大数学家欧拉（LeonardEuler1707-1783）的一些意见吧！
欧拉在他的一篇：《纯数学的观察问题》的文章里写道：“许多我们知道的整数的性质是靠观察得来，这发现早已被它的严格证明所证实。还有很多整数的性质我们是很熟悉的，可是我们还不能证明；只有观察引导我们对它们的认识。因此我们看到在数论——它还不是一个完整的理论中，我们可以寄厚望于观察：它能连续引导我们新的性质，我们较后尝试证明。那类靠观察而取得的知识还没有被证明，必需小心的和真理区别，像我们通常所说它是靠归纳所得的。我们看过单纯的归纳会引起错误。因此我们要非常小心，不要把那一类我们靠观察而由归纳得来的整数的性质当为正确无误。事实上，我们要利用这发现为机会，去研究它的性质，去证明它或反证它，这两方面我们都会学到有用的东西。”（见《欧拉全集》第二册）
欧拉是瑞士人，一生大部份时间是在俄国和德国的科学院度过，对这两个国家特别是俄国的数学发展有很大的贡献。他是最多产的数学家，他在生之日已出版和发表五百多本书和文章，死后还留下二百多篇文章未发表，以及一大堆不太完整的手稿。
他的工作涉及的范围很广，单是数学就包含了当时的数学的差不多所有的分枝，在物理、天文、水利等等一些较有实用的科学他也作出过贡献。
从1909年开始瑞士的自然科学会，准备出版他的全集，他的全集到现在还没有出完，他留在列宁格勒（现改名为圣彼得堡）的一大堆手稿，因为内容太多，到现在还要花许多时间和气力去整理。
为什么欧拉能作出这样多的发现呢？在那篇《纯数学的观察问题》的文章里，他已告诉了你一个秘诀，就是：“依靠观察得来的。”事实上欧拉也是一个善于观察的数学家。
91.楼梯上的数字世界
从琪琪一岁时，妈妈就随时随地的和她说话，教她数数，在我们的生活中，到处都是数字的世界，每天我拉着琪琪的小手上下楼时，妈妈会和她一起来数楼梯，刚开始是妈妈一个人数给琪琪听，时间稍长一点，是琪琪小声应合着妈妈，偶尔会发出她熟悉的数字声音，再过了一段时间，楼梯上的数数声变成了稚嫩的声音，从1到5，从1到10，从1到20，从1到30，从1到40，就这样，琪琪在每天必上下的楼梯上，轻而易举，熟能生巧，学会了40个数字。妈妈至今还和琪琪保持着上下楼数数的习惯，就这样，从1到40，成了我们每天的必数数，在这样大小牵小手一起数数的日子里，一岁半的时候，琪琪就能从1数到40，日子一天天过去，琪琪二岁的时候，妈妈数1，她就会数2，我数4，她就会数5。只要是50以内的数字，随你说前一个数，她都能很快的接出下一个数字。在琪琪熟悉了楼梯数后，妈妈又和琪琪数起了栏杆，手把手教着琪琪数，她非常喜欢这样游戏方式，小手扶着楼梯栏杆，走一阶，数一个栏杆数，一个一个数着，很快就可以准确的数出栏杆的数目，在她熟悉数数后，随便拿一堆玩具或珠子给她，她都能准确无误的数对。
92.互换角色学数学
游戏中学习，宝宝接受的更快，妈妈通常和琪琪一起用卡片来学习，妈妈拿起一张卡片，问琪琪：“这是什么？”琪琪回答正确后，妈妈会马上夸奖她，然后她再拿一张卡片问妈妈：“妈妈，这是什么？”妈妈要是回答对了，她会学妈妈说话的样子对我说：“你真棒，来，老师奖励你一个吻。”妈妈要是故意答错，她会马上说出正确答案，并对妈妈说：“妈妈，来，我再教一你一次。！俨然一位老师的派头，和宝宝互换角色一起学习，宝宝会更愿意在角色中不知不觉得学会知识。尤其是数字的组合，琪琪用卡片教我数学时，她会想办法把手中的卡片变换方法，像把几张卡片组合一在起，再问妈妈是多少，反正拆拆合合，两，三位数，加减法就在琪琪的问中，妈妈的回答中，被琪琪不知不觉的学会了。
93.厨房里的教学
做饭时，琪琪总喜欢看电视，为了不让她长时间看电视，妈妈就会让她帮我忙，琪琪，帮妈妈拿两个鸡蛋来，她就会很开心的数好给妈妈拿过来，并对妈妈说我会帮妈妈干活了，劲头特别的大，于是妈妈通常会趁热打铁，对她说：“再帮我拿几个什么东西。妈妈抓住她的手一起打鸡蛋，打掉一下，妈妈会问她，手里还有几个，然后妈妈会适时的教她：2-1=1，摘豆角时，妈妈去给她一把，让她边数边摘豆角，这样她不但帮我做了事，还很快的学会了数学。
其实，数学真是无处不在，穿鞋时，爸爸妈妈鞋大且长，宝宝的鞋小且短，伸出手，爸爸妈妈的手大，宝宝的手小，大手牵小手。水果的形状颜色，玩具的形状颜色大小，车牌号，门牌号，电话号码，只要你细心，哪里都可以成为快乐形像学习数学的乐园。
