11.破碎砝码的妙用
一个商人不慎将一个重40磅的砝码跌落在地面上碎成4块，恰巧每块都是整数磅，后来他又意外发现，可以用这4块碎片做成可以称1到40磅的任意整数磅的重物的新砝码。请你猜一猜，这4块碎片的重量各是多少？
这就是着名的德·梅齐里亚克的砝码问题。这位法国数学家采用“迂回进击”的战术，使问题得到解决。
他是这样演绎的：
首先说明一个结论：如果有一系列砝码，把它们适当地分放在天平的两个托盘上，能称出1到n的所有整数磅重物(这时这些砝码重量的和也一定为n磅)。另设有一块砝码，它的重量为m磅(m＝2n＋1)，那么原来所有的砝码再加砝码m所组成的砝码组便能称出从1到3n＋1的所有整数磅的重物。
因为，原砝码组可称出重量1到n的所有整数磅重物。而原砝码组与重量为m磅的砝码可以秤n＋1到2n＋1磅的所有整数磅重物。
由此可判定这4块砝码的重量：
第一块砝码取m1＝1(磅)
第二块砝码取m2＝2×1＋1＝3(磅)
第三块砝码取m3＝2(1＋3)＋1＝9(磅)
第四块砝码取m4＝2(1＋3＋9)＋1＝27(磅)
用这4块砝码可秤从1到(1＋3＋9＋27)＝40磅间的任何一个整数磅重物。
12.你能算出哪一天是星期几吗
如果你要想知道历史上一些重要日子，或是未来随便哪一天是星期几，不翻日历，能计算出来吗？
根据历法原理，按照下面的公式计算，就可以知道某年、某月、某日是星期几了。
这个公式是：
S＝x－1＋x－14－x－1100＋x－1400＋C。
这里x是公元的年数，C是从这一年的元旦算到这天为止（连这一天也在内）的日数。x－14表示为x－14的整数部分；在计算S时，三个分数式只要商数的整数部分，余数略去不计，再把其它几项依次加减，就可得到S。
求出S以后，用7除；如果恰能除尽，这一天一定是星期日；若余数是1，那么这一天是星期一；余数是2，这一天就是星期二，依此类推。
例1：1921年7月1日，中国共产党在上海成立。你可知道1921年7月1日是星期几？
按上面的公式，可得：
S＝1921－1＋1921－14－1921－1100
＋1921－1400＋(31＋28＋31＋30＋31＋30＋1)
＝1920＋480－19＋4＋182
＝2567。
2567÷7＝366……5。
所以1921年7月1日是星期五。
例2：1949年10月1日是伟大的中华人民共和国成立的日子，这一天是星期几？
按上面公式计算，可以知道：
S＝1949－1＋1949－14－1949－1100
＋1949－1400＋(31＋28＋31＋30＋31＋30＋31＋30＋1)
＝1948＋487－19＋4＋274
＝2694。
2694÷7＝384……6。
所以1949年10月1日是星期六。
例3：1984年元旦是星期几？
按上面公式可得：
S＝1984－1＋1984－14－1984－1100
＋1984－1400＋1
＝1983＋495－19＋4＋1
＝2464。
2464÷7＝352。
所以1984年元旦是星期日。
13.“奇异的追击”
四只龟在边长3米的正方形四个角上，以每秒1米的速度同时匀速爬行。每只龟爬行方向是追击其右邻角上的龟，问经过多少时间他们才能在正方形的中心碰头。
这就是思维魔术家马丁·加德纳的“四龟问题”。
这四龟在任何时候，始终位于正方形的四个角，四龟的不停爬行，使所构成的正方形越来越小，最后，终于碰头于正方形的中心。
这四龟所行的路线显然不是直线，要直接计算行程，使人感到无从下手。怎样解决这个难题呢？
我们分析相邻两龟的爬行，其方向总是构成直角。前龟的移动并不影响两龟之间的距离，它的移动可略去不考虑。这就相当于前龟停留在一个正方形的一角，而后龟沿着正方形的一边向它爬去。这样，当它们在正方形中心相遇时，各龟的爬行路线长刚好都等于正方形的边长，所以需要3001＝300秒。就是说5分钟后四龟在正方形中心碰头。
14.池塘中的芦苇有多高
陈明和张红、方华在昆明湖中划船，岸边有一棵芦苇露出水面。这棵芦苇有多长呢？这里水有多深呢？小明捉摸了一会，拿出尺来量了量芦苇露出水面的长度是11厘米，芦苇离岸边的距离是3米零1厘米，他又扯着芦苇顶端引到岸边，苇顶正好和水面相齐，陈明高兴地说，我可以算出芦苇的长度和水深。张红和方华感到奇怪：你怎么会算的呢？陈明说：“我叔叔有一本《九章算术》，那是汉朝的着作，离现在快两千年了，前天晚上，叔叔给我讲了其中一个题目，就是计算芦苇长度的。”接着，陈明给他的小伙讲了这个题目。
这个题目是《九章算术》勾股章第六题。题目是：
“有一个方池，每边长一丈，池中央长了一棵芦苇，露出水面恰好一尺，把芦苇的顶端引到岸边，苇顶和岸边水面刚好相齐，问水深、苇长各多少？
设池宽ED＝2a＝10尺，C是ED的中央，那么，DC＝a＝5，生长在池中央的芦苇是AB，露出水面的部分AC＝1尺，而AB＝BD，设BD＝c，水深BC＝b，三角形BDC是一个勾股形。显然AC＝AB－BC＝c－b＝1尺，AC的长等于勾股形中弦和股的差，称为股弦差，于是，问题就变了：已知勾股形的勾长和股弦差长，求股长和弦长。
由勾股定理得
a2＝c2－b2，
那么，
a2－(c－b)2＝c2－b2－(c－b)2
＝c2－b2－(c2－2bc＋b2)
＝2bc－2b2
＝2b(c－b)
所以
b＝a2－(c－b)22(c－b)(1)
c＝b＋(c－b)(2)
将b，c－b的数值代入（1）、（2）两式，很容易求出水深b＝12尺，苇长c＝13尺，《九章算术》用非常精练的语言概括了这个解法：
半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭（苇）长。
这段话翻译成数学语言，就是（1）式和（2）式。
15.怎样寻找最佳方案
自从有人类以来，人们就一直在追求一种用最少时间、最少劳动达到最好效果的途径。研究这个问题的理论成果，就是近代应用数字的一个分支——运筹学。我国的许多古书中都记载了有关这方面的事例，其中最出名的要数丁谓的施工问题。
据沈括所写的《梦溪笔谈》中记载：北宋真宗年间(公元1015年)，京城开封的皇宫失了大火，建筑物被烧毁。宋真宗命丁谓主持修复工程。这种工程比新建要复杂得多，如果没有合理的施工方案，不仅会拖延工期，还会造成巨大浪费。丁谓经过充分研究提出如下方案：把皇宫前的大街挖成一条大沟，利用挖出来的土作建筑材料。再把汴水引入大沟，使外地船只木筏装载建筑材料直抵建筑工地。竣工之后，再把碎砖瓦和垃圾等物填入沟中，修复原来大街，结果节省的费用“以亿万计”。
近代的运筹学中，关于寻找最佳方案已总结了许多方法，让我们举一个最简单的图表作业法的例子。
秋天，一农户把人力分开，分别负责收割和装运大豆、谷子、高粱、糜子等作物。收割和装运各需工时列表如下：
收割工时作物豆子谷子高梁糜子收割7(小时)3(小时)5(小时)5(小时)装运5(小时)6(小时)1(小时)4(小时)注一种庄稼割完捆好后方可装运怎样才能在最短时间内完工呢？事实上不应按豆子、谷子、高粱、糜子的顺序，而应按谷子，豆子、糜子、高粱的顺序。
解决这类问题一般说来可以这样，先把几种活的两道工序列个用时表，然后找出表中最小的一个数，如果这个数在第一项工程中，就把这种活放在最前；如果这个数在第二项工程中，就把这种放在最后。之后便把这种活从表上划掉，然后按照此法重复做下去，就会得出最佳方案。
16.甲比乙多百分之几
乙生产队亩产粮食800斤，甲生产队亩产粮食1000斤，每亩的产量甲比乙多200斤。200斤是800斤的25％，即甲生产队比乙生产队亩产多25％。反过来，乙生产队比甲生产队亩产少200斤，200斤是1000斤的20％，即乙生产队比甲生产队亩产低20％。
如果离开具体例子，在一般情况下，“甲比乙多几斤”，“乙比甲少几斤”，都是用一个算式“甲－乙”来计算的，结果当然一样。但是，“甲比乙多百分之几”，“乙比甲少百分之几”，计算起来却不是单纯的“甲－乙”了。甲比乙多百分之几应该是甲－乙乙；乙比甲少百分之几应该是甲－乙甲。分子相同而分母却是不同的，所以答数也就不同了。
举一个例子，假如只知道甲比乙多25％，没有具体的数量，而要知道乙比甲少百分之几时，我们可以选定乙为标准，即乙为100%。因甲比乙多25％，即甲是125%，于是，
甲－乙甲＝125%－100%125%＝25125＝15＝20%，
即乙比甲少20％。这种例子我们日常碰到很多，你不妨自己算算看。
17.怎样把有理数排队编号
正整数、负整数和零、一切整数，都可以排队编号，我们已经知道了。
那么，有理数是不是也能排队编号呢？
有理数要排队编号，比起整数来，要复杂得多。因为整数排队，可以按它们的绝对值的大小来分别前后。而有理数呢，就不同了。譬如在相邻的两个自然数2与3之间，就有无限多个有理数。如果仍旧按它们的绝对值大小来排队，是编不出号码的。
能不能想办法把有理数排队编号呢？
也有办法。下面就作一个介绍。
先看一看下面这个表：
1234567……
12223242526272……
13233343536373……
14243444546474……
…………
…………
从上面这个表，可以看出，第一行是自然数，就是分母是1，分子是自然数由小到大的分数；第二行分母是2，分子是自然数由小到大的分数；第三行以下可以依次类推。行数是无限的。这样一个表，就可以包括所有的正有理数了。
现在就可以把这个表上的所有的数排队编号了。排队编号的方法是按照下列的路线：
先从1起，向右到2，然后向左下斜行到12，再向下到13，再向右上斜行过22到3，又向右到4，又向左下斜行……
这样，可以经过所有表上的有理数，一个也不会漏掉。但是，这里有些有理数是重复的。如1和22，33……实际上都是1；12，24，36……等等也是重复的，实际上都是12。所以，在这个排列的表中，要把出现重复的地方去掉。这样得到的是：1，2，12，13，3，4，32，23，14，15，5……这里，13和3之间的22去掉了。15和5之间的24，33，42都去掉了。这样，正有理数的排队就解决了。排队排好，编号就不成问题了。1是1号，2是2号，12是3号，13是4号，3是5号等等。
如果要把所有有理数包括正的、负的和零一起排呢？你就可以自己解决了。
你不要以为这样的排队编号，是一种消遣性质的数学游戏。在数学里，象自然数、整数、有理数这类可以把所有的数排队编号的集合，叫做“可数集合”。另一方面，象实数（包括有理数和无理数）、复数（包括实数和虚数）这样的数的集合，就不能把所有有关的数排队编号，这样的集合，叫做“不可数集合”。可数集合和不可数集合的性质和规律是有所不同的。
18.抽屉原则
现在有五本书要放到四个抽屉里去，放法是很多的，有的抽屉可以不放，有的可以放一本，有的可以放二本、三本、四本甚至放五本。但是，随便怎样放法，至少总可以找到一个抽屉里至少放上二本书的。
如果每一个抽屉代表一个集合，每一本书就代表一个元素。假使有n＋1或比n＋1多的元素要放到n个集合里去，那也没有疑问，其中必定至少有一个集合里至少放进二个元素。这就是“抽屉原则”的抽象涵义。
现在我们班上有54个同学，我说，这54个同学中至少有二个人是同一个星期出生的。你一定会惊奇，我怎么会知道的呢？这很简单，按照我们学校目前招生的情况，学生们的生日不会相差一年，因为一年之中只有53个星期，现在学生有54人，我们运用抽屉原则的知识，把星期作为抽屉，学生作为书本，那么，这53个抽屉里，至少有一个抽屉放进至少二本书的，也就是至少有二个同学在同一星期出生。这不是很容易解答的吗？
