第10章

［答案：以湖的中心为圆心，R/4为半径做一个圆。如果老鼠沿着这个圆游泳，那么水中的老鼠和岸上的猫就具有相同的角速度，如果老鼠游泳的半径略小于R/4，设为R，，就会拥有比猫更大的角速度，若老鼠游的时间足够长，完全可以领先猫180度，即老鼠在原点左侧略小于R，处，而猫在原点右侧R处。那么现在老鼠要游R-R，，而猫要跑314R。只要：

4(R-R，)314R……(1)即老鼠在上岸时猫还没有跑到上岸地点，且R，R/4，老鼠就可以逃出猫的追击，事实上这完全是可以的。

解(1)式得：

R，0215R

与R，025R有交集，所以老鼠可以逃走。］

队伍进行了多少米

110米长的队伍，以每秒15米的速度进行，一队员以每秒4米的速度从队尾走到队首。然后立即按原速返回到队尾，问队员从离开队尾到又返回队尾时，队伍进行了多少米？试将上述问题改变成一个求队伍长度的问题，并做解答。

［答案：以队列为参照系，则队员从队尾走到队首速度为4-15=35m/s，从队首走到队尾用4+15=55m/s

队员从离开队尾到回到队尾所用时间为t=110/35+110/55

再以地面为参照系，队伍前进距离=15t=7714m

改为求队伍长度：

已知队伍在此时间内前进s，又知队伍相对地面的速度，可求得队伍前进的时间。再以队伍为参照系，队员前进和返回的速度已知，根据这两个速度比可知时间比（因为前进和返回的位移相同），因此可以求得前进和返回的时间，进而可以计算出队列长度。］

圣诞火鸡问题

(美国)西方人把圣诞节视为他们最重要的节日。圣诞节前，约翰、彼得和罗伯一早就到了市场去卖他们饲养的火鸡。这些火鸡重量相差无几，因此就论只来卖。

其中约翰有10只，彼得有16只，罗伯有26只。早上三人卖价相同。中午饭后，由于三人都没卖完，又要赶在天黑前回家，只好降价出售，但三人的卖价仍然相同。黄昏时，他们的火鸡全部卖完。

当清点钱时，他们惊奇地发现每个人都得到56英镑。想想看，为什么？他们上、下午的售价各是多少？每人上、下午各售出多少只火鸡？

［答案：若假设约翰、彼得和罗伯上午卖出x，y，z只火鸡，那么下午各卖出10－x，16－y，26－z只火鸡。又若设上午售价为每只a英镑，下午售价为每只b英镑。由题意可得如下方程组：

ax＋b（10－x）=56①

ay＋b（16－y）=56②

az＋b（26－z）=56③

这是一个含有5个未知数却只有3个方程的不定方程组。

①－③得（x－z）（a－b）=16b，④

②－③得（y－z）（a－b）=10b，⑤

④÷⑤得(x-z)/(y-z)=8÷5，即5x＋3z=8y。⑥

由题目条件知，0x10，0y16，0z26，经过代入⑥检验可找出，只有x=9，y=6，z=1是唯一的一组解，再把x，y，z的值代入①、②可算出a=6，b=2。因此上午售价为每只6英镑，下午每只2英镑。约翰、彼得和罗伯上午各卖出9，6，1只火鸡，下午各卖出1，10，25只火鸡。］

老大娘卖活鸭

一个老大娘卖活鸭，来了三个买主，合计一会儿，要把鸭子全包了。

其中一个买主说：“我买两筐鸭子的一半零半只。”另一个买主说：“我买他剩下的一半零半只。”第三个买主说：“我买他俩剩下的一半零半只。”

老大娘以为三个人开玩笑，活蹦乱跳的鸭子怎么能卖半只。可又仔细一想，高兴地把两筐活鸭一只不剩地卖给了他们。请问：老大娘共卖了多少只活鸭？他们三人各买了多少？

解：先从第三个人入手，买了两人买剩下的一半，还剩一半，而这剩下的一半的对应量是半只，所以，第二个人买了鸭子后还剩05÷（1-1/2）=1只。然后再找第二个人买的一半后剩下的量的对应分率，是1+1/2=15（只），所以第一个人买后还剩下15÷（1-1/2）=3只，最后找第一个人买了一半后的对应量，是3+1/2=35只，所以老大娘共有35÷（1-1/2）=7只，第一个人买了7/2+05=4只，第二个人买了（7-4）÷2+05=2只，第三个人买了7-4-2=1只。

［答案：老大娘共卖了7只活鸭，第一个人买了4只，第二个人买了2只，第三个人买了1只。］

岳飞安排士兵

岳飞是我国古代宋朝的民族英雄。他在泰州抗击金兵期间，他曾向将领们讲了一种布阵图：一座矩形的城池，在城池的四周设了八个哨所，一共由24个士兵值守，其中从城墙的每边观察都有11个士兵，后来由于军情变化，连续四次给哨所增添兵力，每次增加4人，但要求在增加人员后，仍然保持每边11个人值守，请问应如何安排各哨所的士兵？

［答案：8个哨所分别在顶点和各边中点，初始：4×11-24=20，所以在每个顶点是20÷4=5人，中点是1人第一次：4×11-28=16，所以在每个顶点是16÷4=4，中点是3人第二次：4×11-32=12，所以在每个顶点是12÷4=3，中点是5人第三次：4×11-36=8，所以在每个顶点是8÷4=2，中点是7人第四次：4×11-40=4，所以在每个顶点是4÷4=1，中点是9人。］

花园里的花朵

在一个花园里，第一天开一朵花，第二天开2朵花，第三天开四朵花，以此类推，一个月内恰好所有的花都开放了，问当花园里的花朵开一半时，是哪一天？

［答案：第29天，每天开的是前一天的2倍。］

这只熊是什么颜色

一只熊，从P点开始，向正南走一里，然后改变方向，向正东走一里，接着，它再向左转，向正北走一里，这是他恰好到达所出发的P点，问这只熊是什么颜色？

［答案：白色，P点是北极点。］

四层有多少红灯

为了庆祝北京申办2008奥运会成功，某地区的人们将城市装扮一新纷纷走上街头庆祝，一位数学教师看到当地7层塔上挂有红灯，于是顺口吟了4句诗：“火树银花塔7层，层层红灯倍加增，共有红灯五零八，试问四层几红灯？”这是一道趣味题，请你试试将题解出来。

［答案：设四层有灯x个。

x(1+2+4+8+1/2+1/4+1/8)=508

x(127/8)=508

x=32］

杯子能否朝下

桌面上有１４只杯子，３只杯口朝上，现在每次翻动４只杯子（把杯口朝上的翻为朝下，把杯口朝下的翻为朝上）。问：能否经过若干次翻动后，把杯口都朝下？若不能，那么每次翻动６只能做到吗？７只呢？

［答案：把杯口朝上的杯子用+1表示，把杯口朝下的杯子用-1表示。

初始状态是3“+”，11“-”，所以把１４个数相乘则积为-1，而翻动1只杯子时，就是“把+1变为-1或者是把-1变为+1”，当翻动1只杯子时，就相当于原状态乘以-1。

翻动n次杯子时，就相当于乘以n个“-1”

所以每次翻动偶数只杯子时，不改变初始状态是“-1”的这个结果。

所以每次翻动４只杯子和每次翻动６只杯子，不能改变乘积为是“-1”的这个结果。

所以都不能做到。

而每次翻动奇数只杯子时，能改变初始状态是“-1”的这个结果。

所以每次翻动7只杯子且翻动奇数次能做到。

具体操作如下：原状态３只杯口朝上，11只杯口朝下。

①翻动2只杯口朝上，翻动5只杯口朝下，

翻动后，6只杯口朝上，翻动8只杯口朝下。

②翻动3只杯口朝上，翻动4只杯口朝下，

翻动后，7只杯口朝上，翻动7只杯口朝下。

③翻动7只杯口朝上。

翻动后，这时14只杯子都是杯口朝下，完成任务。］

村子里有几条病狗

一个村子里面有50个人，每个人有一条狗。现在知道村子里面有狗病了。每天观察一次狗的情况，但是每个人只能观察到别的49条，看不到自己的狗，判断出自己的狗是病狗的时候，必须枪毙病狗，但是每个人只有权力枪毙自己的病狗。第一天，没有枪声，第二天，还是没有枪声。第三天，听见枪声了。请问村子里有几条病狗？

［答案：假如只有1只病狗，那么该病狗的主人在第一天看到其余49只狗都没病时，就知道自己的狗有病了，故第一天就会有枪声。假如有2只病狗，其主人分别为甲和乙，第一天没有枪声响起，在第二天甲会做如下思考：如果我的狗没病，那么乙在昨天看到的49只狗全都是正常狗，他就会知道自己的狗有病从而开枪了。他为什么没开枪？这说明他看到我的狗有病。于是甲会在第二天开枪。当然同理乙也会在第二天开枪。实际情形是，第三天才出现枪声，那么一定有3只病狗。］

他们是哪个国家的人

有六个不同国籍的人，他们的名字分别为A，B，C，D，E和F；他们的国籍分别是美国、德国、英国、法国、俄罗斯和意大利（名字顺序与国籍顺序不一定一致）

现已知：（1）A和美国人是医生；（2）E和俄罗斯人是教师；（3）C和德国人是技师；（4）B和F曾经当过兵，而德国人从没当过兵；（5）法国人比A年龄大，意大利人比C年龄大；（6）B同美国人下周要到英国去旅行，C同法国人下周要到瑞士去度假。请判断A、B、C、D、E、F分别是哪国人？

［答案：仔细分析一下各句。根据前三句，我们首先能得出C不是德国人、美国人、俄罗斯人，根据5、6得知C不是意大利人、法国人，所以C是英国人。同样根据前三句知道A不是美国人、俄罗斯人、德国人，根据5得知A不是法国人，又不是英国人（C才是）所以A是意大利人。又根据前三句知A、C、E都不是德国人，根据4知B、F也不是德国人，所以D是德国人。然后E不是美国人、俄罗斯人、德国人，加上得出的结论E不是英国人、意大利人，所以E是法国人。只剩下B和F了，国家只剩下美国人和俄罗斯人，根据6知B不是美国人，所以B是俄罗斯人，F是美国人。］

怎么量出4升的水

你有两个桶。容量分别为3升和5升，同时还有大量的水。你怎么才能准确量出4升的水？

［答案：3升装满，倒入5升桶(5升桶还有2升空间)；3升再次装满，倒入5升桶至满，则3升桶还剩1升；把5升桶的水全倒掉，把3升桶的1升倒入5升桶；3升桶装满倒入5升桶即得4升。］

古罗马人的遗嘱

传说，有一个古罗马人临死时，给怀孕的妻子写了一份遗嘱：生下来的如果是儿子，就把遗产的2/3给儿子，母亲拿1/3；生下来的如果是女儿，就把遗产的1/3给女儿，母亲拿2/3。结果这位妻子生了一男一女，怎样分配，才能接近遗嘱的要求呢？

［答案：1、母亲的份额是儿子的1/2，是女儿的2倍，儿子4/7，母亲2/7，女儿1/7。

2、先将财产一分为二，然后再分配，儿子1/3，母亲1/2，女儿1/6。］

公园里有多少蜜蜂

公园里有甲、乙两种花，有一群蜜蜂飞来，在甲花上落下1/5，在乙花上落下1/3，如果落在两种花上的蜜蜂的差的三倍再落在花上，那么只剩下一只蜜蜂上下飞舞欣赏花香，算算这里聚集了多少蜜蜂？

［答案：1/3-1/5=2/15；3×2/15=6/15；1-1/3-1/5-6/15=1/15；1/（1/15）=15。］

苍蝇总共飞行了多少英里

两个男孩各骑一辆自行车，从相距20英里（1英里合16093千米）的两个地方，开始沿直线相向骑行。在他们起步的那一瞬间，一辆自行车车把上的一只苍蝇，开始向另一辆自行车径直飞去。

它一到达另一辆自行车车把，就立即转向往回飞行。这只苍蝇如此往返，在两辆自行车的车把之间来回飞行，直到两辆自行车相遇为止。

如果每辆自行车都以每小时10英里的等速前进，苍蝇以每小时15英里的等速飞行，那么，苍蝇总共飞行了多少英里？

［答案：每辆自行车运动的速度是每小时10英里，两者将在1小时后相遇于20英里距离的中点。苍蝇飞行的速度是每小时15英里，因此在1小时中，它总共飞行了15英里。］

客人住旅馆

我们大家一起来试营一家有80间套房的旅馆，看看知识如何转化为财富。经调查得知，若我们把每日租金定价为160元，则可客满；而租金每涨20元，就会失去3位客人。每间住了人的客房每日所需服务、维修等项支出共计40元。问题：我们该如何定价才能赚最多的钱？

［答案：日租金360元。虽然比客满价高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人还是能给我们带来360×50=18000元的收入；扣除50间房的支出40×50=2000元，每日净赚16000元。而客满时净利润只有160×80-40×80=9600元。］

数学家维纳的年龄

我今年岁数的立方是个四位数，岁数的四次方是个六位数，这两个数，刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，维纳的年龄是多少？

［答案：咋一看，这道题很难，其实不然。设维纳的年龄是x，首先岁数的立方是四位数，这确定了一个范围。

10的立方是1000，20的立方是8000，21的立方是9261，是四位数；22的立方是10648；所以10=x=21x四次方是个六位数，10的四次方是10000，离六位数差远啦。

15的四次方是50625还不是六位数，17的四次方是83521也不是六位数。18的四次方是104976是六位数。20的四次方是160000；21的四次方是194481。